Arithmétique et algèbre matricielle

I. Arithmétique dans Z

1. • Division euclidienne dans Z
   • Arithmétique : divisibilité, nombres premiers, PGCD, PPCM, algorithme d’Euclide, lemmes de Gauss et d’Euclide, identité de Bézout

II. Anneaux

• Définition d’un anneau
• Diviseurs de zéro et anneau intègre
• Définition d’un corps
• Idéal et anneau quotient
• Arithmétique dans un anneau principal : divisibilité, PGCD, PPCM, identité de Bézout, élément irréductible, lemmes de Gauss et d’Euclide

III. Polynômes

•  L’anneau K[X] des polynômes à coefficients dans le corps K : introduction des opérations internes sur K[X]
•  Division des polynômes : divisibilité dans K[X], division euclidienne, division selon les puissances croissantes
• K[X] anneau principal et conséquences
• Racines : fonction polynomiale, polynômes à coefficients complexes, polynômes à coefficients réels
• Polynômes irréductibles dans C[X] et R[X]
• Racines multiples et polynômes dérivés
• Fractions rationnelles : définition de K(X), décomposition en éléments simples des fractions rationnelles de C(X) et R(X)

IV. Algèbre matricielle

1. • Relation entre matrices et endomorphismes d’espaces vectoriels de dimension finie
   • Polynôme caractéristique
   • Diagonalisation des endomorphismes et des matrices
   • Polynômes annulateurs
   • Théorème de Cayley-Hamilton
   • Lemmes des noyaux
   • Polynôme minimal

• Trigonalisation

Acquisition d’une culture mathématique solide (définitions, énoncés, techniques de démonstration) concernant l’arithmétique dans Z, dans un anneau abstrait ou dans l’anneau des polynômes K[X]

Utilisation des résultats du cours dans la résolution de problèmes d’arithmétique

Maîtrise les algorithmes pratiques vus en cours : algorithme d’Euclide, méthodes utilisées pour décomposer un polynôme en produit de facteurs irréductibles, pour décomposer une fraction rationnelle en éléments simples ou pour diagonaliser une matrice, …

Maîtriser les notions d’algèbre acquises en 1^re année, notamment celles concernant les lois de composition interne et les structures algébriques, ainsi que les outils de calcul matriciel déjà enseignés.

Contrôle Continu

• Savoir décomposer un entier en produit de nombres premiers.
• Savoir calculer le PGCD de deux entiers avec l’algorithme d’Euclide
• Maîtriser les opérations avec les congruences modulo n
• Maîtriser les techniques nécessaires pour résoudre des problèmes d’arithmétique dans le cadre général des anneaux abstraits
• Maîtriser l’arithmétique dans les anneaux quotient Z/nZ
• Savoir faire la division euclidienne de deux polynômes
• Savoir faire la décomposition en produit de facteurs irréductibles dans C[X] et R[X]
• Savoir décomposer une fraction rationnelle en éléments simples
• Savoir diagonaliser une matrice diagonalisable
• Savoir calculer le polynôme minimal d’un endomorphisme ou d’une matrice